Question

【題目】如圖，等腰直角三角形ABC所在的平面與半圓弧AB所在的平面垂直，AC⊥AB，P是弧AB上一點，且∠PAB=30°.

（1）證明：平面BCP⊥平面ACP；

（2）若Q是弧AP上異于AP的一個動點，當三棱錐C-APQ體積最大時，求二面角A-PQ-C的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）根據等腰直角三角形ABC所在的平面與半圓弧AB所在的平面垂直，AC⊥AB，得到平面APB，從而，又，由線面垂直的判定定理得到平面ACP，再由面面垂直的判定定理證明.

（2）由（1）知平面APB，若三棱錐C-APQ體積最大，則三角形APQ面積最大，此時為的中點，過點A作，連接，得到平面ACE，從而為二面角A-PQ-C的平面角，根據∠PAB=30°，設AC=2，求得AE,CE即可.

（1）因為等腰直角三角形ABC所在的平面與半圓弧AB所在的平面垂直，AC⊥AB，

所以平面APB，又PB平面APB，

所以，又，，

所以平面ACP，又平面BCP，

所以平面BCP⊥平面ACP；

（2）由（1）知平面APB，

所以AC為三棱錐C-APQ的高，設

若三棱錐C-APQ體積最大，則三角形APQ面積最大

當為的中點時，三角形APQ面積最大，

如圖所示：

過點A作，連接，

所以平面ACE，

所以為二面角A-PQ-C的平面角，

因為∠PAB=30°.

所以 ，

所以，

所以，

所以.