Question

【題目】函數.

（Ⅰ）當曲線在點處的切線與直線垂直時，判斷函數在區間上的單調性；

（Ⅱ）若函數在定義域內有兩個零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析； （Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由，解得，令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；（Ⅱ）函數在內有兩個零點，等價于方程恰有兩個不相等的正實根，令，分兩種情況討論，不合題意；當時，利用導數研究函數的單調性以及函數的最值，結合零點存在定理，列不等式求解即可.

（Ⅰ）由題意知，函數的定義域為.

，，解得.，

. 當時，，則恒成立，

故函數在區間上單調遞增.

（Ⅱ）函數的定義域為.若函數在內有兩個零點，即方程恰有兩個不相等的正實根，

也就是方程恰有兩個不相等的正實根.

令，

．

當時，＞0恒成立，函數在上是增函數，

∴函數最多一個零點，不合題意，舍去.

當時，由得；由得.

所以函數在單調遞減，在內單調遞增.

所以的最小值是，即，

. ，，解得.

因為所以在內有一個零點.

因為，所以

.

于是所以在內有一個零點.

故實數a的取值范圍是.