Question

【題目】已知拋物線：上任意一點到其焦點的距離的最小值為1.，為拋物線上的兩動點（、不重合且均異于原點），為坐標原點，直線、的傾斜角分別為，.

（1）求拋物線方程；

（2）若，求證直線過定點；

（3）若（為定值），探求直線是否過定點，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）是，理由見解析.

【解析】

（1）根據拋物線的定義結合已知求出的值，最后寫出拋物線的標準方程；

（2）設出直線的方程與拋物線方程聯立，由已知可以得到，結合平面向量數量積坐標運算公式、一元二次方程根與系數關系，最后得到直線過定點；

（3）根據（2）中的特例，再結合，根據兩角和的正切公式、直線傾斜角和斜率的關系，最后能求出直線所過定點.

（1）設為拋物線上任一點，為焦點，則，

故拋物線方程.

（2）設，，：，聯立得，

，

，即，

則.

得已，從而直線過定點.

（3）由（2），：，，

當或時，，

，故，

于是直線經過定點.

當且時，，

，

即，

.

故直線：，即為，

故直線過定點.