Question

【題目】已知橢圓： + =1（a＞b＞0），離心率為 ，焦點F1（0，﹣c），F2（0，c）過F1的直線交橢圓于M，N兩點，且△F2MN的周長為4． （I） 求橢圓方程；
（II） 與y軸不重合的直線l與y軸交于點P（0，m）（m≠0），與橢圓C交于相異兩點A，B且 =λ ．若 +λ =4 ，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意，4a=4， = ， ∴a=1，c= ，
∴ = ，
∴橢圓方程方程為 ；
（Ⅱ）設l與橢圓C交點為A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）
由 得（k2+2）x2+2kmx+（m2﹣1）=0
△=（2km）2﹣4（k2+2）（m2﹣1）=4（k2﹣2m2+2）＞0（*）
∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
∵ ， ，
∴λ=3
∴﹣x1=3x2
∴x1+x2=﹣2x2 ， x1x2=﹣3x22 ，
∴3（x1+x2）2+4x1x2=0，
∴3（﹣ ）2+4 =0，
整理得4k2m2+2m2﹣k2﹣2=0
m2= 時，上式不成立；m2≠ 時， ，
由（*）式得k2＞2m2﹣2
∵k≠0，
∴ ＞0，
∴﹣1＜m＜﹣ 或 ＜m＜1
即所求m的取值范圍為（﹣1，﹣ ）∪（ ，1）．
【解析】（Ⅰ）先離心率為 ，△F2MN的周長為4，可求出a，b，c的值，從而得到答案．（Ⅱ）先設l與橢圓C交點為A、B的坐標，然后聯立直線和橢圓方程消去y，得到關于x的一元二次方程，進而得到兩根之和、兩根之積，根據 ， ，可得λ=3，再利用韋達定理，即可解出m的范圍．
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關知識點，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．