Question

【題目】設函數 f （x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）．
（1）若a=﹣3，求函數 f （x）的最小值；
（2）如果x∈R，f （x）≤2a+2|x﹣1|，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=﹣3時，f（x）=|x﹣1|+|x+3|，

∵f（x）=|x﹣1|+|x+3|=|1﹣x|+|x+3|≥|（1﹣x）+（x+3）|=4，

當且僅當（1﹣x）（x+3）≥0即﹣3≤x≤1時，“=”成立，

∴函數f（x）的最小值是4；

（2）解：x∈R，f（x）≤2a+2|x﹣1|，

可化為|x﹣a|﹣|x﹣1|≤2a，

又|x﹣a|﹣|x﹣1|≤|（x﹣a）﹣（x﹣1）|=|1﹣a|，

當且僅當x=1時“=”成立，

從而|1﹣a|≤2a，即﹣2a≤1﹣a≤2a，解得：a≥ ，

故a的范圍是[ ，+∞）．

【解析】（1）根據絕對值的意義求出函數的最小值即可；（2）由|x﹣a|﹣|x﹣1|≤2a，轉化為|1﹣a|≤2a，求出a的范圍即可．
【考點精析】關于本題考查的絕對值不等式的解法，需要了解含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號才能得出正確答案．