Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，平面ACE⊥平面ABCD，四邊形ABCD 為平行四邊形，∠CAD=90°，EF∥BC，EF= BC，AC= ，AE=EC=1．
（1）求證：CE⊥AF；
（2）若二面角E﹣AC﹣F 的余弦值為 ，求點D 到平面ACF 的距離．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵平面ACE⊥平面ABCD，且平面ACE∩平面ABCD=AC，

∵AD⊥AC，∴AD⊥平面AEC… CE平面AEC，∴AD⊥CE，

又 ，

∴AC2=AE2+CE2，

∴AE⊥EC∵EF∥BC，BC∥AD∴EF∥AD，即A、D、E、F共面

又AE∩AD=D，∴CE⊥平面ADEF

∵AF面ADEF，

∴CE⊥AF

（2）解：因為平面ACE⊥平面ABCD，∠CAD=90°，

如圖以A為原點建立空間直角坐標系O﹣xyz

設AD=2a，則

由AD⊥面ACE知平面ACE的一個法向量

設平面ACF的一個法向量 ，因為 ∴ ，取 ，則

則 ，

因為二面角E﹣AC﹣F的余弦值為

所以 ，即a=1

所以

設點D到平面ACF的距離為d，則

所以點D到平面ACF的距離

【解析】（Ⅰ）證明AD⊥平面AEC，推出AD⊥CE，AE⊥EC，推出CE⊥平面ADEF，然后證明CE⊥AF．（Ⅱ）以A為原點建立空間直角坐標系O﹣xyz，設AD=2a，求出平面ACE的一個法向量，平面ACF的一個法向量利用二面角E﹣AC﹣F的余弦值為 ，求出a，設點D到平面ACF的距離為d，利用公式求解即可．
【考點精析】關于本題考查的直線與平面垂直的性質，需要了解垂直于同一個平面的兩條直線平行才能得出正確答案．