Question

【題目】設函數 ，且αsinα﹣βsinβ＞0，則下列不等式必定成立的是（ ）
A.α＞β
B.α＜β
C.α+β＞0
D.α2＞β2

Answer 1

【答案】D
【解析】解：令f（x）=xsinx，x∈ ， ∵f（﹣x）=﹣xsin（﹣x）=xsinx=f（x），
∴f（x）=xsinx，x∈ 為偶函數．
又f′（x）=sinx+xcosx，
∴當x∈[0， ]，f′（x）＞0，即f（x）=xsinx在x∈[0， ]單調遞增；
同理可證偶函數f（x）=xsinx在x∈[﹣ ，0]單調遞減；
∴當0≤|β|＜|α|≤ 時，f（α）＞f（β），即αsinα﹣βsinβ＞0，反之也成立；
故選D．
【考點精析】掌握正弦函數的單調性是解答本題的根本，需要知道正弦函數的單調性：在上是增函數；在上是減函數．