Question

（滿分12分）設是拋物線（p>0）的內接正三角形（為坐標原點），其面積為；點M是直線：上的動點，過點M作拋物線的切線MP、MQ，P、Q為切點．
（1）求拋物線的方程；
（2）直線PQ是否過定點，若過定點求出定點坐標；若不過定點，說明理由；
（3）求MPQ面積的最小值及相應的直線PQ的方程．

Answer 1

（１）； （２）直線ＰＱ過定點；
（３）
即，ＭＰＱ面積有最小值．此時直線ＰＱ的方程是：．．

本試題主要是考查了拋物線的方程的求解，以及直線方程的求解，和三角形面積的最值的求解的綜合運用。
（1）利用其性質得到拋物線的方程；
（2）假設直線PQ過定點，那么分析其方程的特點發現結論。
（3）結合三角形的面積公式，而控制得到直線與拋物線聯立方程組的思想表示弦長，然后得到求解。
解：（１）．因為正面積是，設邊長為，
則．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１＇
又設，，
，
，所以點Ａ,Ｂ關于軸對稱，．．．．．．．．．．．．．．２＇
于是令可得，拋物線方程是：；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４＇
（２）．設，切點，則切線ＭＰ:，ＭＱ：，相較于Ｍ,所以，可得直線ＰＱ的方程：
當時，與無關，所以直線ＰＱ過定點；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．８＇
（３）. 設，，由（２）知直線PQ的方程是：，
，
，．．．．．．．．．．．．．１０＇
又點M到直線PQ的距離為，
所以．．．．12＇
即，ＭＰＱ面積有最小值．此時直線ＰＱ的方程是：．．