Question

設點是拋物線的焦點，是拋物線上的個不同的點（）.
（1） 當時，試寫出拋物線上的三個定點、、的坐標，從而使得
；
（2）當時，若，
求證：；
（3） 當時，某同學對（2）的逆命題，即：
“若，則.”
開展了研究并發現其為假命題.
請你就此從以下三個研究方向中任選一個開展研究：
① 試構造一個說明該逆命題確實是假命題的反例（本研究方向最高得4分）；
② 對任意給定的大于3的正整數，試構造該假命題反例的一般形式，并說明你的理由（本研究方向最高得8分）；
③ 如果補充一個條件后能使該逆命題為真，請寫出你認為需要補充的一個條件，并說明加上該條件后，能使該逆命題為真命題的理由（本研究方向最高得10分）.
【評分說明】本小題若填空不止一個研究方向，則以實得分最高的一個研究方向的得分作為本小題的最終得分.

Answer 1

見解析

第一問利用拋物線的焦點為，設，
分別過作拋物線的準線的垂線，垂足分別為.
由拋物線定義得到
第二問設，分別過作拋物線的準線垂線，垂足分別為.
由拋物線定義得


第三問中①取時，拋物線的焦點為，
設，分別過作拋物線的準線垂線，垂足分別為.由拋物線定義得

，
則，不妨取；；；
解：（1）拋物線的焦點為，設，
分別過作拋物線的準線的垂線，垂足分別為.由拋物線定義得


因為，所以，
故可取滿足條件.
（2）設，分別過作拋物線的準線垂線，垂足分別為.
由拋物線定義得


  又因為

；
所以.
（3） ①取時，拋物線的焦點為，
設，分別過作拋物線的準線垂線，垂足分別為.由拋物線定義得

，
則，不妨取；；；，
則，
.
故，，，是一個當時，該逆命題的一個反例.(反例不唯一)
② 設，分別過作
拋物線的準線的垂線，垂足分別為，
由及拋物線的定義得
，即.
因為上述表達式與點的縱坐標無關，所以只要將這點都取在軸的上方，則它們的縱坐標都大于零，則

，
而，所以.
（說明：本質上只需構造滿足條件且的一組個不同的點，均為反例.）
③ 補充條件1：“點的縱坐標（）滿足 ”，即：
“當時，若，且點的縱坐標（）滿足，則”.此命題為真.事實上，設，
分別過作拋物線準線的垂線，垂足分別為，由，
及拋物線的定義得，即，則

，
又由，所以，故命題為真.
補充條件2：“點與點為偶數，關于軸對稱”，即：
“當時，若，且點與點為偶數，關于軸對稱，則”.此命題為真.（證略）