Question

過直線上的動點作拋物線的兩條切線，其中為切點．
⑴若切線的斜率分別為，求證：為定值；
⑵求證：直線恒過定點．

Answer 1

⑴為定值．⑵直線恒過定點．

本試題主要是考查了直線與拋物線的位置關系的運用以及直線方程的求解的綜合運用。
（1）不妨設，．利用導數的幾何意義，得到直線的斜率，運用斜率關系式證明結論。
（2）證明直線恒過定點，關鍵是求解直線方程，直線的方程為
即，由于，所以直線方程化為，
所以，直線恒過定點
⑴不妨設，．
由，當時，，，所以．同理．……2分
由，得．同理．
所以，是方程的兩個實數根，所以，
所以為定值．…………………………………………………………5分
⑵直線的方程為．………………………………………7分
即，
即，由于，所以直線方程化為，
所以，直線恒過定點．……………………………………………………10分