Question

【題目】已知拋物線：內有一點，過的兩條直線，分別與拋物線交于，和，兩點，且滿足，，已知線段的中點為，直線的斜率為.

（1）求證：點的橫坐標為定值；

（2）如果，點的縱坐標小于3，求的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

（1）設中點為，根據向量的線性運算可知，且，和三點共線，利用點差法可得，，即，可知軸，故為定值（2）由得到，設，，聯立直線與拋物線方程可求，寫出面積公式即可求最值.

（1）設中點為，則由，可推得，，這說明，且，和三點共線.

對，使用點差法，可得，即.

同理.

于是，即軸，所以為定值.

（2）由得到，設，，聯立

得，所以,,

根據點到直線的距離公式知P到AB的距離為，

于是，令x=,則，

，令得，當時， ,函數為增函數，當時，，函數為減函數，故當，即時，有最大值.