Question

【題目】已知橢圓：的焦距為，且橢圓過點(diǎn)，直線與圓: 相切，且與橢圓相交于兩點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）求三角形面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）方法一，由條件可知，再將點(diǎn)代入橢圓方程，求得橢圓的方程，方法二，由條件求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)橢圓的定義，求得，最后求，求得橢圓方程；（2）方法一，討論斜率存在和不存在兩種情況，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線與圓相切得到，并利用根與系數(shù)的關(guān)系表示弦長(zhǎng)，并得到三角形的面積，利用換元法求面積的取值范圍，法二，同法一表示三角形的面積，并通過構(gòu)造換元，利用基本不等式求面積的取值范圍.

（1）解法1: ，

橢圓方程

（1）解法2: 由已知得,則焦點(diǎn)坐標(biāo)為

,

橢圓方程

（2）解法1 ：(i) 當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，

(ii)當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立 得：

，

又直線與圓相切，，即

令，則，

令，則

設(shè),,則

, 在遞增，

, 即

；

綜上，由(i)和(ii)知，三角形面積的取值范圍為.

解法2：(i)當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，

(ii)當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立 得：

，

又直線與圓相切，,即

令，則，，

綜上，由(i)和(ii)知，三角形面積的取值范圍為.