Question

【題目】已知函數（是常數）.

（1）若，求函數的值域；

（2）若為奇函數，求實數.并證明的圖像始終在的圖像的下方；

（3）設函數，若對任意，以為邊長總可以構成三角形，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）；證明見解析（3）

【解析】

（1）把代入后反解可得，解分式不等式即可；

（2）直接利用奇函數的定義代入即可求解，利用作差法即可證明結論；

（3）由題意可得，結合，利用換元法轉化為，，再結合二次函數的性質即可.

（1）由題意，（是常數），

當時，此時，即，整理可得，

因，則，即，

解得，

故函數的值域為.

（2）由題意，為奇函數，則，即，

化簡得，

∵恒不為零，

∴且，解得，此時，

∴，

即的圖像始終在的圖像的下方.

（3）由題意，得，，

令，則，其對稱軸為，

①當，即時，此時單調遞減，

∴，即，

解得或，

∴；

②當，即時，此時先減后增左端點高，

∴即，無解；

③當，即時，此時先減后增右端點高，

∴即，無解；

④當，即時，此時單調遞增，

∴即，

解得或，

∴；

綜上，.