Question

【題目】已知拋物線經過點.

（1）寫出拋物線的標準方程及其準線方程，并求拋物線的焦點到準線的距離；

（2）過點且斜率存在的直線與拋物線交于不同的兩點，，且點關于軸的對稱點為，直線與軸交于點.

（i）求點的坐標；

（ii）求與面積之和的最小值.

Answer 1

【答案】（1），，焦點到準線的距離為1； （2）（i），（ii）.

【解析】

（1）由拋物線經過點，求得拋物線的方程為，再結合拋物線的幾何性質，即可求解；

（2）（i）設過點的直線，聯立方程組，求得，再由直線的方程，，即可求解的坐標；

（ii）利用三角形的面積公式，求得與面積之和的表示，結合基本不等式，即可求解.

（1）由題意，拋物線經過點，即，

解得，所以拋物線的方程為，

拋物線的準線方程為，拋物線的焦點到準線的距離為1.

（2）（i）設過點的直線，

代入拋物線的方程，可得，

設直線與拋物線的交點，且，

則，

所以直線的方程為，

即，即，

令，可得，

所以，所以，所以，

（ii）如圖所示，可得，

，

所以與面積之和為：

，

當且僅當時，即時等號成立，

所以與面積之和的最小值為.