Question

【題目】已知函數f（x）=﹣x3+ax2+bx+c圖象上的點P（1，﹣2）處的切線方程為y=﹣3x+1．
（1）若函數f（x）在x=﹣2時有極值，求f（x）的表達式
（2）若函數f（x）在區間[﹣2，0]上單調遞增，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=﹣3x2+2ax+b，

因為函數f（x）在x=1處的切線斜率為﹣3，

所以f′（1）=﹣3+2a+b=﹣3，即2a+b=0，

又f（1）=﹣1+a+b+c=﹣2得a+b+c=﹣1．

函數f（x）在x=﹣2時有極值，所以f'（﹣2）=﹣12﹣4a+b=0，

解得a=﹣2，b=4，c=﹣3，

所以f（x）=﹣x3﹣2x2+4x﹣3

（2）解：因為函數f（x）在區間[﹣2，0]上單調遞增，所以導函數f′（x）=﹣3x2﹣bx+b

在區間[﹣2，0]上的值恒大于或等于零，

則 得b≥4，所以實數b的取值范圍為[4，+∞）.

【解析】（1）對函數f（x）求導，由題意點P（1，﹣2）處的切線方程為y=﹣3x+1，可得f′（1）=﹣3，再根據f（1）=﹣1，又由f′（﹣2）=0聯立方程求出a，b，c，從而求出f（x）的表達式．（2）由題意函數f（x）在區間[﹣2，0]上單調遞增，對其求導可得f′（x）在區間[﹣2，0]大于或等于0，從而求出b的范圍．