Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若函數在區間上是單調遞增函數，求實數的最大值；

（Ⅲ）若關于的方程在區間內有兩個實數根，分別求實數與的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）,

【解析】

（Ⅰ）利用二倍角公式和兩角和公式對函數解析式化簡，代入即可．
（Ⅱ）根據三角函數的圖象與性質求得函數的增區間，進而確定的范圍．
（Ⅲ）把方程的根的問題轉化為兩函數圖象交點的問題，確定的范圍，根據函數的對稱，求得的值，進而表示出的表達式，利用二次函數的性質確定其范圍．

（Ⅰ）∵

∴

（Ⅱ）由

得

∴在區間上是增函數

∴當時，在區間上是增函數

若函數在區間上是單調遞增函數，則

∴， 解得

∴的最大值是

（Ⅲ）方程在區間內有兩實數根等價于

直線與曲線（）有兩個交點.

∵當時， 由（Ⅱ）知在上是增函數，在上是減函數， 且

∴

即實數的取值范圍是

∵函數的圖象關于對稱

∴.

∵，∴.

∴.

∵函數在內遞增

∴

∴

的取值范圍為.