Question

【題目】已知(a>0，且a≠1)．

(1)討論f(x)的奇偶性；

(2)求a的取值范圍，使f(x)>0在定義域上恒成立．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）依題意，可得函數f（x）的定義域為{x|x≠0}，利用函數奇偶性的定義可判斷出f（﹣x）=f（x），從而可知f（x）的奇偶性；

（2）由（1）知f（x）為偶函數，故只需討論x＞0時的情況，依題意，當x＞0時，由f（x）＞0恒成立，即可求得a的取值范圍．

(1)由于ax－1≠0，則ax≠1，得x≠0，

所以函數f(x)的定義域為{x|x≠0}.

對于定義域內任意x，有

f(－x)＝ (－x)3

＝ (－x)3

＝ (－x)3

＝x3＝f(x).

∴f(x)是偶函數.

(2)由(1)知f(x)為偶函數，

∴只需討論x>0時的情況，當x>0時，要使f(x)>0，即x3>0，

即＋>0，即>0，則ax>1.

又∵x>0，∴a>1.

因此a>1時，f(x)>0.