Question

【題目】極坐標系中橢圓C的方程為ρ2= ，以極點為原點，極軸為x軸非負半軸，建立平面直角坐標系，且兩坐標系取相同的單位長度．
（1）求該橢圓的直角標方程，若橢圓上任一點坐標為P（x，y），求x+ y的取值范圍；
（2）若橢圓的兩條弦AB，CD交于點Q，且直線AB與CD的傾斜角互補，求證：|QA||QB|=|QC||QD|．

Answer 1

【答案】
（1）解：由橢圓C的方程為ρ2= ，化為x2+2y2=2，

∴ ．

令 ，y=sinθ，θ∈[0，2π）．

∴x+ y= =2 ∈[﹣2，2]，

∴x+ y的取值范圍是[﹣2，2]

（2）證明：設(shè)Q（m，n），直線AB的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），

∵直線AB與CD的傾斜角互補，可設(shè)直線CD的參數(shù)方程為 ，

把直線AB的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)）代入橢圓的方程化為：（1+sin2α）t2+（2mcosα+4nsinα）t+m2+2n2﹣2=0，

∴|QA||QB|= ，

同理可得：|QC||QD|= ，

∴：|QA||QB|=|QC||QD|

【解析】（1）由橢圓C的方程為ρ2= ，化為 ．令 ，y=sinθ，θ∈[0，2π）．可得x+ y=2 ，即可得出取值范圍．（2）設(shè)Q（m，n），直線AB的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），直線AB與CD的傾斜角互補，可設(shè)直線CD的參數(shù)方程為 ，分別把直線AB、CD的參數(shù)方程代入橢圓的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系、參數(shù)的意義即可得出．