Question

【題目】設(shè)函數(shù)，.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是，無(wú)減區(qū)間；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是．

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在唯一零點(diǎn)．

【解析】

（1）根據(jù)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟，先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后在定義域內(nèi)解含參的不等式，分類(lèi)討論即可求出；

（2）由（1）可知函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可判斷出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，由或，由；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，由或，

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是，無(wú)減區(qū)間；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是．

（2）由（1）可知，

①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上遞增，在上遞減，

所以，，，但是，

當(dāng)時(shí)，，存在，故，即在上存在唯一零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在遞增，，，

即在上存在唯一零點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上遞增，在上遞減，

所以，，，但是，

當(dāng)時(shí)，，存在，故，即在上存在唯一零點(diǎn)．

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在唯一零點(diǎn)．