Question

【題目】如圖，圓盤上有一指針，開始時指向圓盤的正上方．指針每次順時針方向繞圓盤中心轉動一角，且，經2004次旋轉，第一次回到了其初始位置，即又指向了圓盤的正上方．試問：有多少個可能的不同值?

Answer 1

【答案】325

【解析】

顯然有．①

這里是當指針第一次回到其初始位置時已經轉過的圈數．

因是正整數，式①整理后可得．

同時必與2004互質，即．

設．若有，則令．

此時有．

這意味著指針轉動次，每次轉動角，指針則旋轉圈之后，回到其初始位置，與題設矛盾．

由上述討論可知，對任一滿足，且的，對應一個可能的．反之亦然．

故問題成為求滿足上述兩個條件的所有的個數．

因為，

所以，．

在不大于1001的正整數中，不能被2或3整除的正整數共有

（個）．

（符號表示不超過的最大整數．）

其中只有及能被167整除，所以，不大于1001且滿足條件的共有個．再去掉1，5，7，11，13，17，19這7個不大于20的數，知同時滿足兩個條件的共有個．

因此，共有325個可能的不同值．