Question

設函數f（x）=

2x，x≤0 log2x，x＞0

，【若對任意給定的y∈（2，+∞），都存在唯一的x∈R，滿足f（f（x））=2a²y²+ay，則正實數a的最小值是

 

．

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：

分析：此題的突破口在于如何才會存在唯一的x滿足條件，結合f（x）的值域范圍或者圖象，易知只有在f（x）的自變量與因變量存在一一對應的關系時，即只有當f（x）＞1時，才會存在一一對應．

解答：解：根據f（x）的函數，我們易得出其值域為：R
又∵f（x）=2^x，（x≤0）時，值域為（0，1]；f（x）=log₂x，（x＞0）時，其值域為R
∴可以看出f（x）的值域為（0，1]上有兩個解，要想f（f（x））=2a²y²+ay，在y∈（2，+∞）上只有唯一的x∈R滿足，
必有f（f（x））＞1 （因為2a²y²+ay＞0）
所以：f（x）＞2
解得：x＞4，
當 x＞4時，x與f（f（x））存在一一對應的關系
∴2a²y²+ay＞1，y∈（2，+∞），且a＞0
所以有：（2ay-1）（ay+1）＞0
解得：y＞

1

2a

或者y＜-

1

a

（舍去）
∴

1

2a

≤2
∴a≥

1

4

故答案為：

1

4

點評：本題可以把2a²y²+ay當作是一個數，然后在確定數的大小后再把它作為一個關于y的函數．