Question

【題目】已知數列的前項和為，且，.

（1）求數列的通項公式；

（2）已知，記（且），是否存在這樣的常數，使得數列是常數列，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；

（3）若數列，對于任意的正整數，均有成立，求證：數列是等差數列.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】

（1）根據和項與通項關系得，再根據等比數列定義與通項公式求解（2）先化簡，再根據恒成立思想求的值（3）根據和項得，再作差得，最后根據等差數列定義證明.

（1），所以，

由得時，，

兩式相減得，，，

數列是以2為首項，公比為的等比數列，所以.

（2）若數列是常數列，

為常數.

只有，解得，

此時.

（3）①

，，其中，所以，

當時，②

②式兩邊同時乘以得，③

①式減去③得，，所以，

因為，

所以數列是以為首項，公差為的等差數列.