Question

【題目】如圖，△是邊長為2的正三角形，平面，∥，．

（1）求證：平面平面；

（2）求點到平面的距離．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析.

（2）

【解析】分析：(1)先取邊的中點，的中點為，根據三角形中位線性質得四邊形為平行四邊形，即得∥．再根據正三角形性質得 ，即得 .又根據平面，∥，易得 , 即得 .由線面垂直判定定理得平面，最后根據面面垂直判定定理得結論，（2）先求三棱錐體積，再根據等體積法求點到平面的距離．

詳解：（1）取邊的中點，的中點為，

連接，，，則 ．

因為是△的中位線，由題設

∥，且，所以四邊形為平行四邊形，于是∥．

因為平面，所以 ，

所以 ，故平面．

所以平面，又面，

故平面平面．

（2）由（1），△面積為2，所以三棱錐的體積為．

由（1），，△面積為2．

設點到平面的距離為，則三棱錐的體積為．

因為三棱錐與三棱錐的體積相等，所以，即點到平面的距離為．