Question

【題目】對于任意給定的無理數(shù)、及實(shí)數(shù)，證明：圓周上至多只有兩個(gè)有理點(diǎn)（縱、橫坐標(biāo)均為有理數(shù)的點(diǎn)）。

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

對于點(diǎn)，用表示上述圓周上有理點(diǎn)的個(gè)數(shù).

首先，可以作一個(gè)符合條件得圓，其上至少有兩個(gè)有理點(diǎn)，

為此，取點(diǎn)，.則線段中垂線.

在直線上取點(diǎn)，再取.則以為圓心、為半徑的圓周上至少有、這連個(gè)有理點(diǎn).

其次說明，對于任何無理點(diǎn)以及任意正實(shí)數(shù)，.

假設(shè)有無理點(diǎn)及正實(shí)數(shù)，在以為圓心、為半徑的圓周上，至少有三個(gè)有理點(diǎn).

則. ①

故， ②

③

記，.

則.

（1）若，則由式②知.

由為無理數(shù)，得.故點(diǎn)與重合，矛盾.

類似地，若，得點(diǎn)與重合，矛盾.

（2）若，，由式②、③消去得

.

又為無理數(shù)，故.

則、、三點(diǎn)共線，這與、、三點(diǎn)共圓矛盾.

因此，假設(shè)不真，即這種圓上至多有兩個(gè)有理點(diǎn).

于是，對于所有的無理點(diǎn)及所有正實(shí)數(shù)，的最大值為2.