Question

【題目】已知函數，其中，為函數的導函數．

（1）討論的單調性；

（2）若對任意，恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）求，令，求出，得出，對分類討論求出，

的解，即可得出結論；

（2）分離參數轉化為求，設

，通過求導及構造函數，得且滿足，進而得到時，取得最小值，即可求出結論.

（1）

令，則，所以故

（ⅰ）當時，

當時，，所以在上單調遞減

當時，，所以在上單調遞增

（ⅱ）當時，令，則或

（a）若即時，

當或時，，

所以在和上單調遞增

當時，，

所以在上單調遞減

（b）若即時，，

所以在上單調遞增

（c）若即時，

當或時，，

所以在和上單調遞增

當時，，

所以在上單調遞減

綜上所述：當時，在上單調遞減，在上單調遞增

當時，在和上單調遞增，

在上單調遞減

當時，在上單調遞增

當時，在和上單調遞增，

在上單調遞減

（2）解法一：參數分離法

由知在恒成立即

令，則

令，則，

所以在上單調遞增

又，

所以在上存在唯一零點，且

所以當時，即；當時，

即

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

又因為

思路一：即

因為，所以（*）

設，當時，，

所以在上單調遞增

由（*）知，所以

所以，

則有即

所以實數的取值范圍為

思路二：即，兩邊取對數，

得

即（*）

設，則在上單調遞增

由（*）知，所以

所以，

則有即

所以實數的取值范圍為．

下面提供一種利用最小值的定義求的最小值的方法：

先證：，

設，則，

所以當時，；當時，，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

所以即，

（當且僅當時等號成立），

再證：

由得（用代換），

，

，

（當且僅當時等號成立）

最后證：方程有實根，

設，則在上單調遞增，

又，，

所以在有唯一零點，

即方程有實根，

綜上，則有即，

所以實數的取值范圍為．

解法二：函數性質法

由知在恒成立，

設，則，

因為，

，所以在上單調遞增，

又當時，；當時，；

所以在上存在唯一零點，即，（1）

所以當時，；當時，，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

，

，

即，

思路一：即，

因為，所以，（*）

設，當時，，

所以在上單調遞增，

由（*）知，

所以即，