【題目】已知
，函數(shù)
.
（1）經(jīng)過原點分別作曲線
、
的切線，若兩切線的斜率互為倒數(shù)，證明：
；
（2）設(shè)
，當(dāng)
時，
恒成立，試求實數(shù)
的取值范圍.
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）設(shè)切線
，切點為
.
則
,
,
,
由題意，知切線
的斜率為
，方程為
.
設(shè)曲線
的切點為
.
則
.
又
，消去
、
后，整理得:
.
令
.則:
.
于是，
在區(qū)間
上單調(diào)遞減，在區(qū)間
上單調(diào)遞增.
若
，由
，
，則
.
而
在上單調(diào)遞減，故
.
若
，因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，且
，
所以，
，這與題設(shè)
矛盾.
綜上，.
（2）注意到，
.
（i）當(dāng)
時，由
，則
.
于是，
在區(qū)間
上遞增，
恒成立，符合題意.
（ii）當(dāng)
時，由
，且
，
則
在區(qū)間上遞增.
又
，則存在
，使得
.
于是，在區(qū)間
上遞減，在區(qū)間
遞增.
又
，此時，
不恒成立，不符合題意.
綜上，實數(shù)的取值范圍是
.
天天向上一本好卷系列答案
小學(xué)生10分鐘應(yīng)用題系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知數(shù)列
的前
項和為
,且
.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列
的前項和為
，證明：
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某投資公司在
年年初準(zhǔn)備將
萬元投資到“低碳”項目上，現(xiàn)有兩個項目供選擇：
項目一：新能源汽車.據(jù)市場調(diào)研，投資到該項目上，到年底可能獲利
，也可能虧損
，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為
和
；
項目二：通信設(shè)備.據(jù)市場調(diào)研，投資到該項目上，到年底可能獲利
，可能損失，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為
、
和
.
針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，F(xiàn)C＝4，AE＝5，求此幾何體的體積．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知不經(jīng)過原點的直線
在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且點
在直線上.
（1）求直線的方程；
（2）過點
作直線
，若直線，與
軸圍成的三角形的面積為2，求直線的方程.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在數(shù)列
中，若
(
，
，p為常數(shù))，則稱為“等方差數(shù)列”.下列對“等方差數(shù)列”的判斷，其中正確的為( )
A.若是等方差數(shù)列，則
是等差數(shù)列
B.若是等方差數(shù)列，則是等方差數(shù)列
C.
是等方差數(shù)列
D.若是等方差數(shù)列，則
(
，k為常數(shù))也是等方差數(shù)列
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】對于任意給定的無理數(shù)
、
及實數(shù)
，證明：圓周
上至多只有兩個有理點（縱、橫坐標(biāo)均為有理數(shù)的點）。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在
中，X、Y為直線BC上兩點（X、B、C、Y順次排列），使得
.設(shè)
的外心分別為
，直線
與AB、AC分別交于點U、V.證明：
為等腰三角形.
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