Question

【題目】已知動點P與兩定點A（﹣2，0），B（2，0）連線的斜率之積為﹣ ． （Ⅰ）求動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若過點F（﹣ ，0）的直線l與軌跡C交于M、N兩點，且軌跡C上存在點E使得四邊形OMEN（O為坐標原點）為平行四邊形，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設P（x，y），由 ，得 ，整理得： ．
∴曲線C的方程為 ；
（Ⅱ）設M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），由題意知l的斜率一定不為0，
故不妨設l：x=my﹣ ，代入橢圓方程整理得（m2+4）y2﹣ my﹣1=0，
△=12m2+4m2+16=16m2+16＞0，
則 ，①
假設存在點E，使得四邊形OMEN為平行四邊形，
其充要條件為 ，則點E的坐標為（x1+x2 ， y1+y2）．
由點E在橢圓上，即 ，
整理得 ．
又M，N在橢圓上，即 ，
故x1x2+4y1y2=﹣2，②
又 = ，
將①②代入上式解得m=±
即直線l的方程是：x=± y+1，
即 ．
【解析】（Ⅰ）設出P的坐標，由 化簡整理可得曲線C的方程；（Ⅱ）設M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），由題意知l的斜率一定不為0，設l：x=my﹣ ，代入橢圓方程整理得（m2+4）y2﹣ my﹣1=0，假設存在點E，使得四邊形OMEN為平行四邊形，其充要條件為 ，則點E的坐標為（x1+x2 ， y1+y2）．由此利用韋達定理結合已知條件能求出直線l的方程．