Question

【題目】已知橢圓的左焦點為F1 ， 右焦點為F2 ． 若橢圓上存在一點P，滿足線段PF2相切于以橢圓的短軸為直徑的圓，切點為線段PF2的中點，則該橢圓的離心率為（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】A
【解析】解：如圖， 設以橢圓的短軸為直徑的圓與線段PF2相切于M點，連接OM，PF2；

∵M，O分別是PF2 ， F1F2的中點；
∴MO∥PF1 ， 且|PF1|=2|MO|=2b；
OM⊥PF2；
∴PF1⊥PF2 ， |F1F2|=2c；
∴ ；
根據橢圓的定義，|PF1|+|PF2|=2a；
∴ ；
∴ ；
兩邊平方得：a2﹣2ab+b2=c2﹣b2 ， c2=a2﹣b2代入并化簡得：
2a=3b，∴ ；
∴ ；
即橢圓的離心率為 ．
故選A．