Question

【題目】已知函數, ．

（Ⅰ）當x≥0時，f（x）≤h（x）恒成立，求a的取值范圍；

（Ⅱ）當x＜0時，研究函數F（x）=h（x）﹣g（x）的零點個數；

（Ⅲ）求證：（參考數據：ln1.1≈0.0953）．

Answer 1

【答案】(1) a的取值范圍為（﹣∞，1]；(2)見解析.

【解析】

構造輔助函數，，根據的取值范圍，求導，確定函數的單調性，根據函數的單調性求出的最小值，即可得到的取值范圍

當在上變化時，討論函數和的圖象公共點的個數，即討論的零點的個數，分類討論，確定函數的單調性，即可得出結論

由可知當時，，對恒成立，令，，則，即可得證

（Ⅰ）令H（x）=h（x）﹣f（x）=ex﹣1﹣aln（x+1）（x≥0）

則

①若a≤1，則，H'（x）≥0，H（x）在[0，+∞）遞增，

H（x）≥H（0）=0，

即f（x）≤h（x）在[0，+∞）恒成立，滿足，a≤1，

a的取值范圍（﹣∞，1]；

②若a＞1，在[0，+∞）遞增，

H'（x）≥H'（0）=1﹣a且1﹣a＜0，

且x→+∞時，H'（x）→+∞，

則x0∈（0，+∞）使H'（x0）=0進而H（x）在[0，x0）遞減，在（x0，+∞）遞增，

所以當x∈（0，x0）時H（x）＜H（0）=0，

即當x∈（0，x0）時，f（x）＞h（x），不滿足題意，舍去；

綜合①，②知a的取值范圍為（﹣∞，1]；

（Ⅱ）依題意得，則F'（x）=ex﹣x2+a，

則F'（x）=ex﹣2x＞0在（﹣∞，0）上恒成立，故F'（x）=ex﹣x2+a在（﹣∞，0）遞增，

所以F'（x）＜F'（0）=1+a，且x→﹣∞時，F'（x）→﹣∞；

①若1+a≤0，即a≤﹣1，則F'（x）＜F'（0）=1+a≤0，故F（x）在（﹣∞，0）遞減，

∴F（x）＞F（0）=0，F（x）在（﹣∞，0）無零點；

②若1+a＞0，即a＞﹣1，則使，

進而F（x）在遞減，在遞增，

且x→﹣∞時，，

F（x）在上有一個零點，在無零點，

故F（x）在（﹣∞，0）有一個零點．

綜合①②，當a≤﹣1時無零點；當a＞1時有一個公共點．

（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知，當a=1時，ex＞1+ln（x+1）對x＞0恒成立，

令，則即；

由（Ⅱ）知，當a=﹣1時，對x＜0恒成立，

令，則，

∴；

故有．