Question

【題目】已知橢圓： 的離心率為，且橢圓過點.過點做兩條相互垂直的直線、分別與橢圓交于、、、四點.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）若， ，探究：直線是否過定點？若是，請求出定點坐標；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）由已知，可建立關于橢圓三個參數的方程組進行求解，由離心率可得，又點在橢圓上，可得，結合，從而問題可得解.

（Ⅱ）由題意，可對直線的斜率分“不存在與0”和“都存在且”兩種情況進行分類討論，先對后一種情況探究，則可設兩直線的方程分別為， ，逐個聯立橢圓方程，分別計算的中點的坐標，從而求出直線的方程，并求得其定點為，再對前一種情況進行驗證即可.

試題解析：（Ⅰ）由題意知， ，解得，

故橢圓的方程為.

（Ⅱ）∵， ，∴、分別為、的中點.

當兩直線的斜率都存在且不為0時，設直線的方程為，

則直線的方程為， ， ， ， ，

聯立，得，∴，

∴， ，∴中點的坐標為；

同理， 中點的坐標為，∴，

∴直線的方程為 ，

即，∴直線過定點；

當兩直線的斜率分別為0和不存在時，則直線的方程為，也過點；

綜上所述，直線過定點.