Question

【題目】（本小題滿分16分）

已知數列{an}的前n項和為Sn，且a1=1，Sn=n2an（n∈N*）.

（1）試求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表達式；

（2）用數學納法證明你的猜想，并求出an的表達式.

Answer 1

【答案】（1）解 ∵an=Sn-Sn-1（n≥2）

∴Sn=n2（Sn-Sn-1），∴Sn=Sn-1（n≥2）

∵a1=1，∴S1=a1=1.

∴S2=，S3==，S4=， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分

猜想Sn=（n∈N*）. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分

（2）證明 ①當n=1時，S1=1成立.

②假設n=k（k≥1,k∈N*）時，等式成立，即Sk=，

當n=k+1時，

Sk+1=（k+1）2·ak+1=ak+1+Sk=ak+1+，

∴ak+1=，

∴Sk+1=（k+1）2·ak+1==，

∴n=k+1時等式也成立，得證.

∴根據①、②可知，對于任意n∈N*，等式均成立.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分

又∵ak+1=，∴an=. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄15分

【解析】

（1）根據數列中和的關系式，得到，進而由，即可分別求解得值，歸納猜想的表達式；

（2）用數學歸納法作出證明：第一步，先證明時，結論成立，第二步，假設時成立，證明時也成立，即可得到結論成立．

解：(1)因為an＝Sn－Sn－1(n≥2)

所以Sn＝n2(Sn－Sn－1)，所以Sn＝Sn－1(n≥2)

因為a1＝1，所以S1＝a1＝1.

所以S2＝，S3＝＝，S4＝，

猜想Sn＝ (n∈N*)．

(2)①當n＝1時，S1＝1成立．

②假設n＝k(k≥1，k∈N*)時，等式成立，即Sk＝，

當n＝k＋1時，

Sk＋1＝(k＋1)2·ak＋1＝ak＋1＋Sk＝ak＋1＋，

所以ak＋1＝，

所以Sk＋1＝(k＋1)2·ak＋1＝＝.

所以n＝k＋1時等式也成立，得證．

所以根據①、②可知，對于任意n∈N*，等式均成立．

由Sn＝n2an，得＝n2an，所以an＝.