Question

【題目】

如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=4，BC=CD=2，AA=2,E、E分別是棱AD、AA的中點．

（1）設F是棱AB的中點，證明：直線EE//平面FCC；

（2）證明：平面D1AC⊥平面BB1C1C．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析．

（2）證明見解析．

【解析】

證明：（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中點F1，連接A1D，C1F1，CF1．

因為AB=4，CD=2，且AB//CD，所以CD//A1F1，且CD=A1F1，A1F1CD為平行四邊形，所以CF1//A1D．

又因為E、E分別是棱AD、AA的中點，所以EE1//A1D，

所以CF1//EE1，又因為平面FCC，平面FCC，

所以直線EE//平面FCC．

（2）連接AC，在直棱柱中，CC1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，

所以CC1⊥AC，因為底面ABCD為等腰梯形，AB=4，BC=2，

F是棱AB的中點，所以CF=CB=BF，△BCF為正三角形，

，△ACF為等腰三角形，且，

所以AC⊥BC，又因為BC與CC1都在平面BB1C1C內且交于點C，

所以AC⊥平面BB1C1C，而平面D1AC，

所以平面D1AC⊥平面BB1C1C．