Question

（2013•湖北）如圖，某地質隊自水平地面A，B，C三處垂直向地下鉆探，自A點向下鉆到A₁處發現礦藏，再繼續下鉆到A₂處后下面已無礦，從而得到在A處正下方的礦層厚度為A₁A₂=d₁．同樣可得在B，C處正下方的礦層厚度分別為B₁B₂=d₂，C₁C₂=d₃，且d₁＜d₂＜d₃．過AB，AC的中點M，N且與直線AA₂平行的平面截多面體A₁B₁C₁﹣A₂B₂C₂所得的截面DEFG為該多面體的一個中截面，其面積記為S_中．
（1）證明：中截面DEFG是梯形；
（2）在△ABC中，記BC=a，BC邊上的高為h，面積為S．在估測三角形ABC區域內正下方的礦藏儲量（即多面體A₁B₁C₁﹣A₂B₂C₂的體積V）時，可用近似公式V_估=S_中﹣h來估算．已知V=（d₁+d₂+d₃）S，試判斷V_估與V的大小關系，并加以證明．

Answer 1

（1）見解析   （2）見解析

（1）依題意A₁A₂⊥平面ABC，B₁B₂⊥平面ABC，C₁C₂⊥平面ABC，
所以A₁A₂∥B₁B₂∥C₁C₂，又A₁A₂=d₁，B₁B₂=d₂，C₁C₂=d₃，且d₁＜d₂＜d₃．
因此四邊形A₁A₂B₂B₁，A₁A₂C₂C₁均是梯形．
由AA₂∥平面MEFN，AA₂?平面AA₂B₂B，且平面AA₂B₂B∩平面MEFN=ME，
可得AA₂∥ME，即A₁A₂∥DE．同理可證A₁A₂∥FG，所以DE∥FG．
又M，N分別為AB，AC的中點，
則D，E，F，G分別為A₁B₁，A₂B₂，A₂C₂，A₁C₁的中點，
即DE、FG分別為梯形A₁A₂B₂B₁、A₁A₂C₂C₁的中位線．
因此DE=，FG=，
而d₁＜d₂＜d₃，故DE＜FG，所以中截面DEFG是梯形；
（2）V_估＜V．證明：
由A₁A₂⊥平面ABC，MN?平面ABC，可得A₁A₂⊥MN．
而EM∥A₁A₂，所以EM⊥MN，同理可得FN⊥MN．
由MN是△ABC的中位線，可得MN=BC=a，即為梯形DEFG的高，
因此，
即．又
S=ah，所以．
于是=．
由d₁＜d₂0，d₃﹣d₁＞0，故V_估＜V．