Question

【題目】已知橢圓經過點，離心率為.過原點的直線與橢圓有兩個不同的交點.

（1）求橢圓長半軸長；

（2）求最大值；

（3）若直線分別與軸交于點，求證：的面積與的面積的乘積為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）根據橢圓過點得到的值，結合離心率得到的值，得到答案；

（2）根據橢圓的幾何特點，得到與軸重合時，最大，從而得到答案；

（3）根據對稱性設，，表示出直線、，得到、坐標，從而表示出的面積與的面積，得到面積的乘積為定值.

（1）因為橢圓過點，所以，

因為離心率為，所以，

而，所以，

所以求橢圓長半軸長為；

（2）由（1）可得橢圓的標準方程為，

過原點的直線與橢圓有兩個不同的交點，

可知當為長軸時候最長，

此時.

（3）由對稱性可知、兩點關于原點對稱，

所以設，則，

不妨假設，

則直線的方程為，

令，得到，

所以，

同理，

所以，

所以

而在橢圓上，所以，即，

所以.

所以的面積與的面積的乘積為定值.