Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD為梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，BDD1B1為矩形，平面BDD1B1⊥平面ABCD，又AB=AD=BB1=1，CD=2．

（1）證明：CB1⊥AD1；

（2）求B1到平面ACD1的距離．

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2)1

【解析】

（1）推導出BB1⊥平面ABCD，DD1⊥平面ABCD，連結AC，推導出B1C⊥B1D1，B1C⊥AB1，從而B1C⊥面B1D1A，由此能證明CB1⊥AD1．

（2）求出四面體B1-AD1C的體積V=，，設B1到平面ACD1的距離為h，由等體積法得h=，，由此能求出B1到平面ACD1的距離．

證明：（1）∵BDD1B1是矩形，且平面BDD1B1⊥平面ABCD，

∴BB1⊥平面ABCD，DD1⊥平面ABCD，

在Rt△D1DC中，D1C=，AD1=，AB1=，

連結AC，在梯形ABCD中，∠DAB=90°，AD=AB=1，DC=2，

∴AC=，BC=，∴B1C=，

在△B1D1C中，D1C=，，

B1C=，∴B1C⊥B1D1，

在△B1CA中，B1C=，AB1=，AC=，

∴B1C⊥AB1，

∵B1D1∩AB1=B1，∴B1C⊥面B1D1A，

∵AD1平面B1D1A，∴CB1⊥AD1．

解：（2）在△B1D1A中，AB1=B1D1=，AD1=，

則△BD1A的面積S==，

∴四面體B1-AD1C的體積V=，

在△ACD1中，AC=CD1=，而AD1=，

∴等腰△ACD1的邊AD1上的高d==，

∴△ACD1的面積S==，

設B1到平面ACD1的距離為h，由等體積法得h=，

∴，解得h=1，

∴B1到平面ACD1的距離為1．