【題目】如圖，在直三棱柱
中，平面
側面
，且
，
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）若直線
與平面
所成角的大小為
，求銳二面角
的大小．
【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）
.
【解析】
（Ⅰ）先取
的中點
，連接
，根據線面垂直的判定定理，證明
側面
，進而可得出
；
(Ⅱ)根據（Ⅰ）的結果，得到且
底面
，以點
為原點，以
所在直線分別為
，
，
軸建立空間直角坐標系
，設
，表示出
，再求出平面
的一個法向量，根據直線
與平面所成角的大小為
，求出
，再求出平面
的一個法向量，由向量夾角公式，即可求出結果.
（Ⅰ）如圖，取的中點，連接.
因為
，所以
.
由平面
側面
，且平面
側面
，
得
平面.
又
平面，所以
，
因為三棱柱
是直三棱柱，則
底面，所以
又
，從而側面，
又
側面，故．
(Ⅱ)由（1）知且底面，所以以點為原點，以
所在直線分別為， ，軸建立空間直角坐標系.
設，則
，
，
，
，
，
，
，
.
設平面的一個法向量
，由
，
，得
.
令
，得
，則
.
設直線與平面所成的角為
，則
，
所以
，
解得
， 即
.
又設平面的一個法向量為
，同理可得
.
設銳二面角
的大小為
，則
，
由
，得
.
∴銳二面角的大小為.
巧學巧練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學校高三年級有兩個文科班，四個理科班，現每個班指定1人，對各班的衛生進行檢查.若每班只安排一人檢查，且文科班學生不檢查文科班，理科班學生不檢查自己所在的班，則不同安排方法的種數是( )
A.48B.72C.84D.168
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某農場所對冬季晝夜溫差大小與某反季大豆新品種發芽多少之間的關系進行分析研究，他們分別記錄了2019年12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子中的發芽數，得到如下表：
日期 | 12月1日 | 12月2日 | 12月3日 | 12月4日 | 12月5日 |
溫差 | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
發芽數y（顆） | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
該農科所確定的研究方案是：先從這五組數據中選取2組，用剩下的3組數據求線性回歸方程，再對被選取的兩組數據進行檢驗.
(1)求選取的2組數據恰好是不相鄰的2天數據的概率；
(2)若選取的是12月1日與12月5日的兩組數據，請根據12月2日至12月4日的數據，求出y關于x的線性回歸方程
；并預報當溫差為
時，種子發芽數.
附：回歸直線方程：，其中
；
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知定點
，動點
在
軸上運動，過點作直線
交
軸于點
，延長
至點
，使
．
點的軌跡是曲線
．
（1）求曲線的方程；
（2）若
，
是曲線上的兩個動點，滿足
，證明：直線
過定點；
（3）若直線
與曲線交于
，
兩點，且
，
，求直線的斜率
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
經過點
，離心率為
.過原點
的直線
與橢圓
有兩個不同的交點
.
（1）求橢圓長半軸長；
（2）求
最大值；
（3）若直線
分別與
軸交于點
，求證：
的面積與
的面積的乘積為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為降低空氣污染，提高環境質量，政府決定對汽車尾氣進行整治.某廠家生產甲、乙兩種不同型號的汽車尾氣凈化器，為保證凈化器的質量，分別從甲、乙兩種型號的凈化器中隨機抽取100件作為樣本進行產品性能質量評估，評估綜合得分
都在區間
.已知評估綜合得分與產品等級如下表：
根據評估綜合得分，統計整理得到了甲型號的樣本頻數分布表和乙型號的樣本頻率分布直方圖（圖表如下）.
甲型 乙型
（Ⅰ）從廠家生產的乙型凈化器中隨機抽取一件，估計這件產品為二級品的概率；
（Ⅱ）從廠家生產的乙型凈化器中隨機抽取3件，設隨機變量
為其中二級品的個數，求的分布列和數學期望；
（Ⅲ）根據圖表數據，請自定標準，對甲、乙兩種型號汽車尾氣凈化器的優劣情況進行比較.
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