Question

【題目】已知函數f（x）的定義域為R，若存在常數T≠0，使得f（x）=Tf（x+T）對任意的x∈R成立，則稱函數f（x）是Ω函數． （Ⅰ）判斷函數f（x）=x，g（x）=sinπx是否是Ω函數；（只需寫出結論）
（Ⅱ）說明：請在（i）、（ii）問中選擇一問解答即可，兩問都作答的按選擇（i）計分
（i）求證：若函數f（x）是Ω函數，且f（x）是偶函數，則f（x）是周期函數；
（ii）求證：若函數f（x）是Ω函數，且f（x）是奇函數，則f（x）是周期函數；
（Ⅲ）求證：當a＞1時，函數f（x）=ax一定是Ω函數．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）①對于函數f（x）=x是Ω函數，假設存在非零常數T，Tf（x+T）=f（x），則T（x+T）=x，取x=0時，則T=0，與T≠0矛盾，因此假設不成立，即函數f（x）=x不是Ω函數． ②對于g（x）=sinπx是Ω函數，令T=﹣1，則sin（πx﹣π）=﹣sin（π﹣πx）=﹣sinπx．即﹣sin（π（x﹣1））=sinπx．
∴Tsin（πx+πT）=sinπx成立，即函數f（x）=sinπx對任意x∈R，有Tf（x+T）=f（x）成立．
（Ⅱ）（i）證明：∵函數f（x）是Ω函數，∴存在非零常數T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）．
又f（x）是偶函數，∴f（﹣x）=f（x），∴Tf（﹣x+T）=Tf（x+T），T≠0，化為：f（x+T）=f（﹣x+T），
令x﹣T=t，則x=T+t，∴f（2T+t）=f（﹣t）=f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函數f（x）是周期為2T的周期函數．
（ii）證明：∵函數f（x）是Ω函數，∴存在非零常數T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）．
又f（x）是奇函數，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣Tf（x+T）=Tf（﹣x+T），T≠0，化為：﹣f（x+T）=f（﹣x+T），
令x﹣T=t，則x=T+t，∴﹣f（2T+t）=f（﹣t）=﹣f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函數f（x）是周期為2T的周期函數．
（III）證明：當a＞1時，假設函數f（x）=ax是Ω函數，則存在非零常數T，Tf（x+T）=f（x），
∴Tax+T=ax ， 化為：TaTax=ax ， ∵ax＞0，∴TaT=1，即aT= ，此方程有非0 的實數根，因此T≠0且存在，
∴當a＞1時，函數f（x）=ax一定是Ω函數．
【解析】（Ⅰ）①利用Ω對于即可判斷出函數f（x）=x不是Ω函數．②對于g（x）=sinπx是Ω函數，令T=﹣1，對任意x∈R，有Tf（x+T）=f（x）成立．（Ⅱ）（i）函數f（x）是Ω函數，可得存在非零常數T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）．又f（x）是偶函數，可得Tf（﹣x+T）=Tf（x+T），T≠0，化為：f（x+T）=f（﹣x+T），通過換元進而得出：f（2T+t）=f（t），因此函數f（x）是周期為2T的周期函數．（ii）同（i）可以證明．（III）當a＞1時，假設函數f（x）=ax是Ω函數，則存在非零常數T，Tf（x+T）=f（x），可得Tax+T=ax ， 化為：TaT=1，即aT= ，此方程有非0 的實數根，即可證明．