Question

【題目】已知橢圓 過點，且離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓交于不同的兩點，且線段的垂直平分線過定點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）或.

【解析】試題分析：（1）由離心率得到a，c，b的關系，進一步把橢圓方程用含有c的代數式表示，再結合點在橢圓上求得c，則橢圓方程可求；（2）設出M，N的坐標，聯立直線方程和橢圓方程，由判別式大于0得到，再結合根與系數關系得到MN中點P的坐標為．求出MN的垂直平分線l'方程，由P在l'上，得到,再結合求得k的取值范圍．

試題解析：（1）離心率，∴，即（1）

又橢圓過點，則，（1）式代入上式，解得： ， ，橢圓方程為

（2）設，弦的中點

由，得： ，

直線與橢圓交于不同的兩點，

∴，即，（1）

由韋達定理得： ， ，

則， ，

直線的斜率為： ，

由直線和直線垂直可得： ，即，代入（1）式，

可得： ，即，則或.