Question

【題目】如圖，橢圓的離心率為，其左頂點在圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與橢圓的另一個交點為，與圓的另一個交點為.

（ⅰ）當時，求直線的斜率；

（ⅱ）是否存在直線，使？若存在，求出直線的斜率；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（ⅰ）1，-1；（ⅱ）不存在直線，使得．

【解析】

試題分析：（1）要求橢圓標準方程，就要知道兩個獨立條件，橢圓左頂點在圓說明，再由離心率可得，最后由可得；（2）本題考查解析幾何的基本方法，直線與橢圓相交問題與存在性命題，解決方法是（ⅰ）設點，顯然直線存在斜率，設直線的方程為，與橢圓方程聯立并代入消元得，其中一個根是－4，另一根設為（易得），再由弦長公式可求得；（ⅱ）圓中的弦長利用垂徑定理求得，把代入方程，解之，如能解得值，說明存在，如方程無解，說明不存在．

試題解析：（1）因為橢圓的左頂點在圓上，所以，

又離心率為，所以，所以，

所以，所以的方程為.

（2）（ⅰ）設點，顯然直線存在斜率，

設直線的方程為，與橢圓方程聯立得，

化簡得到，

因為-4為上面方程的一個根，所以，

所以，

由，

代入得到，解得，所以直線的斜率為1，-1.

（ⅱ）圓心到直線的距離為，，

因為，

代入得到，

顯然，，所以不存在直線，使得．