Question

【題目】已知橢圓 經過點 ，離心率為 ， 為坐標原點．
（I）求橢圓 的方程．
（II）若點 為橢圓 上一動點，點 與點 的垂直平分線l交 軸于點 ，求 的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因為橢圓的離心率為 ，

所以 ，故 ，

所以橢圓 的方程為為 ，

又點 在橢圓上，

所以 ，

解得 ，

所以橢圓 的方程為 ．

（Ⅱ）由題意直線 的斜率存在，設點 ，

則線段 的中點 的坐標為 ，且直線 的斜率 ，

因為直線 ，

故直線 的斜率為 ，且過點 ，

所以直線 的方程為： ，

令 ，得 ，

則 ，

由 ，得 ，

化簡得 ．

所以 ．

當且僅當 ，即 時等號成立

【解析】(1)根據橢圓的簡單性質求結合點在橢圓上代入數值即可求出橢圓的方程。(2)假設斜率存在設出點P的坐標利用中點的性質求出點D的坐標再結合直線垂直斜率之積為-1以及點在直線上求出直線的方程，然后求出直線和y軸的交點坐標再將其代入到橢圓的方程進而得到關于y0的代數式，再利用基本不等式求出最小值。