Question

【題目】我國西部某省4A級風景區內住著一個少數民族村，該村投資了800萬元修復和加強民俗文化基礎設施，據調查，修復好村民俗文化基礎設施后，任何一個月內（每月按30天計算）每天的旅游人數f（x）與第x天近似地滿足f（x）=8+ （千人），且參觀民俗文化村的游客人均消費g（x）近似地滿足g（x）=143﹣|x﹣22|（元）．
（1）求該村的第x天的旅游收入p（x）（單位千元，1≤x≤30，x∈N*）的函數關系；
（2）若以最低日收入的20%作為每一天純收入的計量依據，并以純收入的5%的稅率收回投資成本，試問該村在兩年內能否收回全部投資成本？

Answer 1

【答案】
（1）解：依據題意，有p（x）=f （x）g（x）= （1≤x≤30，x∈N*）

=

（2）1°當1≤x≤22，x∈N*時，

p（x）=8x+ +976≥2 +976=1152（當且僅當x=11時，等號成立），

因此，p（x）min=p（11）=1152（千元）．

2°當22＜x≤30，x∈N*時，p（x）= ．

求導可得p′（x）＜0，所以p（x）= 在（22，30]上單調遞減，

于是p（x）min=p（30）=1116（千元）．

又1152＞1116，所以日最低收入為1116千元．

該村兩年可收回的投資資金為1116×20%×5%×30×12×2=8035.2（千元）=803.52（萬元），

因803.52萬元＞800萬元，所以，該村兩年內能收回全部投資資金．

【解析】1、由題意可得 p（x）=f （x）g（x）=,得到分段函數的解析式。
2、若以最低日收入的20%作為每一天純收入的計量依據，并以純收入的5%的稅率收回投資成本，選擇合適的解析式第一種情況當1≤x≤22，x∈N*時再根據基本不等式求得最小值當且僅當x=11時，等號成立。第二種情況當22＜x≤30，x∈N*時，求導得到p′（x）＜0根據單調性在區間（22，30]上單調遞減求得最小值1116千元，又1152＞1116，所以日最低收入為1116千元，再由1116×20%×5%×30×12×2=8035.2（千元）=803.52（萬元），根據實際情況該村兩年內能收回全部投資資金。