Question

【題目】證明與分析
（1）已知a，b為正實數．求證： + ≥a+b；
（2）某題字跡有污損，內容是“已知|x|≤1， ，用分析法證明|x+y|≤|1+xy|”．試分析污損部分的文字內容是什么？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵a＞0，b＞0，

∴（a+b）（ ）=a2+b2+ ≥a2+b2+2ab=（a+b）2．

∴ ≥a+b，當且僅當a=b時等號成立．

（2）解：污損部分的文字內容為“|y|≤1”．理由如下：

要證：|x+y|≤|1+xy|，只需證：（x+y）2≤（1+xy）2，即證：x2+y2≤1+x2y2，

只需證：（x2﹣1）（1﹣y2）≤0，

∵|x|≤1，故只需證：1﹣y2≥0即可．

∴估計污損部分的文字內容為“|y|≤1”．

【解析】（1）不等式兩邊同乘（a+b），使用基本不等式即可得出結論；（2）將結論兩邊平方即可得出（x2﹣1）（1﹣y2）≤0，故只需1﹣y2≥0即可．
【考點精析】本題主要考查了不等式的證明的相關知識點，需要掌握不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等才能正確解答此題．