Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求曲線在點處的切線方程；

（2）若曲線與直線只有一個交點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）求點處的切線方程，只要求出導(dǎo)數(shù)，則有切線方程為；（2）曲線與直線只有一個交點，說明關(guān)于的方程只有一個實根，不可能是根，因此方程可轉(zhuǎn)化為方程只有一個實根，這樣問題又轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線只有一個交點，因此只要研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，函數(shù)值變化情況，作出簡圖就可得出結(jié)論．

試題解析：（1），，，所以切線方程為.

（2）曲線與直線只有一個交點，等價于關(guān)于的方程只有一個實根.

顯然，所以方程只有一個實根.

設(shè)函數(shù)，則.

設(shè)，，為增函數(shù)，又.

所以當(dāng)時，，為增函數(shù)；

當(dāng)時，，為減函數(shù)；

當(dāng)時，，為增函數(shù)；

所以在時取極小值.

又當(dāng)趨向于時，趨向于正無窮；

又當(dāng)趨向于負無窮時，趨向于負無窮；

又當(dāng)趨向于正無窮時，趨向于正無窮.所以圖象大致如圖所示：

所以方程只有一個實根時，實數(shù)的取值范圍為.