Question

設函數g（x）=x²-2（x∈R），f（x）=

g(x)+x+4，x＜g(x) g(x)-x，x≥g(x)

，則f（x）的值域是（　　）

• A、[-

  9

  4

  ，0]∪（1，+∞）
• B、[0，+∞）
• C、[

  9

  4

  ，+∞）
• D、[-

  9

  4

  ，0]∪（2，+∞）

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：當x＜g（x）時，x＞2 或x＜-1，f（x）=g（x）+x+4=x²-2+x+4=x²+x+2=（x+0.5）²+1.75，其值域為：（2，+∞）．當x≥g（x）時，-1≤x≤2，f（x）=g（x）-x=x²-2-x=（x-0.5）²-2.25，其值域為：[-2.25，0]．由此能得到函數值域．

解答：解：當x＜g（x），即x＜x²-2，（x-2）（x+1）＞0時，x＞2 或x＜-1，
f（x）=g（x）+x+4=x²-2+x+4=x²+x+2=（x+0.5）²+1.75，
∴其最小值為f（-1）=2，其最大值為+∞，
因此這個區間的值域為：（2，+∞）．
當x≥g（x）時，-1≤x≤2，
f（x）=g（x）-x=x²-2-x=（x-0.5）²-2.25
其最小值為f（0.5）=-2.25，其最大值為f（2）=0
因此這區間的值域為：[-2.25，0]．
綜合得：函數值域為：[-2.25，0]U（2，+∞），
故選D．

點評：本題考查f（x）的值域的求法．解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．