Question

已知函數f（x）=ax³-3x²+1，若f（x）存在唯一的零點x₀，且x₀＞0，則a的取值范圍是（　　）

• A、（2，+∞）
• B、（1，+∞）
• C、（-∞，-2）
• D、（-∞，-1）

Answer 1

考點：函數零點的判定定理

專題：綜合題,導數的概念及應用

分析：分類討論：當a≥0時，容易判斷出不符合題意；當a＜0時，由于而f（0）=1＞0，x→+∞時，f（x）→-∞，可知：存在x₀＞0，使得f（x₀）=0，要使滿足條件f（x）存在唯一的零點x₀，且x₀＞0，則必須極小值f（

2

a

）＞0，解出即可．

解答：解：當a=0時，f（x）=-3x²+1=0，解得x=±

3

3

，函數f（x）有兩個零點，不符合題意，應舍去；
當a＞0時，令f′（x）=3ax²-6x=3ax（x-

2

a

）=0，解得x=0或x=

2

a

＞0，列表如下：

x	（-∞，0）	0	（0， 2 a ）	2 a	（ 2 a ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

∵x→-∞，f（x）→-∞，而f（0）=1＞0，
∴存在x＜0，使得f（x）=0，不符合條件：f（x）存在唯一的零點x₀，且x₀＞0，應舍去．
當a＜0時，f′（x）=3ax²-6x=3ax（x-

2

a

）=0，解得x=0或x=

2

a

＜0，列表如下：

x	（-∞， 2 a ）	2 a	（ 2 a ，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	單調遞減	極小值	單調遞增	極大值	單調遞減

而f（0）=1＞0，x→+∞時，f（x）→-∞，
∴存在x₀＞0，使得f（x₀）=0，
∵f（x）存在唯一的零點x₀，且x₀＞0，
∴極小值f（

2

a

）＞0，化為a²＞4，
∵a＜0，∴a＜-2．
綜上可知：a的取值范圍是（-∞，-2）．
故選：C．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．