Question

【題目】若定義在區間D上的函數y=f（x）滿足：對x∈D，M∈R，使得|f（x）|≤M恒成立，則稱函數y=f（x）在區間D上有界．則下列函數中有界的是： ．
①y=sinx；② ；③y=tanx；④ ；
⑤y=x3+ax2+bx+1（﹣4≤x≤4），其中a，b∈R．

Answer 1

【答案】①④⑤
【解析】解：①∵y=|sinx|≤1，
∴函數y=|sinx|在區間R上有界．
②∵y=|x+ |≥2
∴函數y=|x+ |在區間{x|x≠0}上無界；
③∵y=|tanx|≥0
∴函數y=|tanx|在區間{x|x≠ +kπ，k∈Z}上無界；
④∵ ；
令t=ex ， t＞0
則原式y= =1﹣ ∈（﹣1，1）
即值域為（﹣1，1）
∴存在M=1，對x∈R，使得|f（x）|≤M恒成立，
∴④是有界的．
⑤∵y=x3+ax2+bx+1（﹣4≤x≤4），
∴y在區間[﹣4，4]上是連續的函數，故一定要最大值P和最小值Q，
設M=max{|P|，|Q|}
∴對x∈D，M∈R，使得|f（x）|≤M恒成立，
故⑤是有界的．
故本題答案為：①④⑤．
【考點精析】關于本題考查的函數的最值及其幾何意義，需要了解利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值才能得出正確答案．