Question

【題目】已知函數（為常數）

（1）若，討論的單調性；

（2）若對任意的，都存在使得不等式成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析;(2）.

【解析】試題分析：（1）求導得，分， 和 三種情況得單調區間.

(2）依題意，只需,由（1）當時， 在上單調遞增， ，

轉化為對任意的，不等式恒成立，構造新函數，對討論求最值即可.

試題解析：（1）

令得

①當時， ，當時， ；當或時， ，此時的單調遞增區間為， ，單調遞減區間為；

②當時， ， , 在上單調遞增；

③當時， ，當時， ；當或時， ，此時的單調遞增區間為， ，單調遞減區間為

綜上所述，當時， 的單調遞增區間為， ，單調遞減區間為；當時， 的單調遞增區間為；當時， 的單調遞增區間為， ，單調遞減區間為.

(2）由（1）可知，當時， 在上單調遞增，

∴時， ，依題意，只需

即對任意的，不等式恒成立，

設，則，

∵，∴

①當時，對任意的， ，∴

∴在上單調遞增， 恒成立；

②當時，存在使得當時， ，∴，∴單調遞減，

∴，∴時， 不能恒成立

綜上所述，實數的取值范圍是.

點晴:本題主要考查函數單調性，不等式恒成立問題.求導比較導方程的根的大小，解不等式可得單調區間，要證明不等式恒成立問題可轉化為構造新函數證明新函數單調，只需要證明其導函數大于等于0（或者恒小于等于0即可），要證明一個不等式，我們可以先根據題意構造新函數，求其值最值即可.這類問題的通解方法就是：劃歸與轉化之后，就可以假設相對應的函數，然后利用導數研究這個函數的單調性、極值和最值，圖像與性質，進而求解得結果.