Question

【題目】在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），在極坐標系中，圓C的極坐標方程為：

（1）求圓C的直角坐標方程；

（2）設圓C與直線交于兩點，若點的坐標為,求的最小值.

Answer 1

【答案】（1） ； （2）.

【解析】

(1)利用極坐標公式把圓C的極坐標方程化為直角坐標方程.(2) 將l的參數方程代入圓C的直角坐標方程,得t2+2(cos α-sin α)t-7=0,利用弦長公式求出|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=，再求其最小值.

(1)由ρ=6sin θ得ρ2=6ρsin θ,化為直角坐標方程為x2+y2=6y,即x2+(y-3)2=9.

所以圓C的直角坐標方程為x2+(y-3)2=9.

(2)將l的參數方程代入圓C的直角坐標方程,得t2+2(cos α-sin α)t-7=0.

由已知得Δ=(2cos α-2sin α)2+4×7>0,

所以可設t1,t2是上述方程的兩根,則

由題意得直線l過點(1,2),結合t的幾何意義得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|

===≥=2.

所以|PA|+|PB|的最小值為2.