Question

【題目】如圖，在三棱柱中，側棱底面,且, 是棱的中點，點在側棱上運動.

(1)當是棱的中點時，求證： 平面；

(2)當直線與平面所成的角的正切值為時，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）取線段的中點，連結．可得四邊形是平行四邊形， ，即可證明平面；（2）以為原點， ， ， 所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用向量法二面角的余弦值.

試題解析：(1)取線段的中點，連結.

∵,∴，且.

又為的中點，∴,且.

∴,且.∴四邊形是平行四邊形.

∴.

又平面平面,∴平面.

(2)∵兩兩垂直，∴以為原點， 所在直線分別為軸， 軸， 軸，建立空間直角坐標系，如圖,

∵三棱柱中， 平面，

∴即為直線與平面所成的角.

設，則由，得.

∴.

∴,

設平面的一個法向量為，

則

令，得，即.

又平面的一個法向量為,∴,

又二面角的平面角為鈍角，∴二面角的余弦值為.