Question

【題目】已知橢圓的焦距等于,短軸與長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度比等于.

（1）求橢圓的方程;

（2）設(shè)點(diǎn)在橢圓上,過(guò)作兩直線,分別交橢圓于另外兩點(diǎn),當(dāng)的傾斜角互為補(bǔ)角時(shí),求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）因?yàn)闄E圓的焦距等于,短軸與長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度比等于,可得: ,即可求得答案;

（2）設(shè),,由題條件知直線的斜率存在且互為相反數(shù),

設(shè)的斜率為,由（1）中的方程知,的方程為,即可求得和點(diǎn)到直線直線的距離的表達(dá)式,進(jìn)而求得面積的最大值.

（1） 橢圓的焦距等于,短軸與長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度比等于

得

解得,,

橢圓的方程為.

（2）設(shè),,

由題條件知直線的斜率存在且互為相反數(shù),

設(shè)的斜率為,由（1）中的方程知,

的方程為.

由消掉

可得,

顯然是上述方程的一個(gè)根,

根據(jù)韋達(dá)定理可得:.

同理可得,

于是,,

,

.

可設(shè)直線的方程為,

則由,消掉

可得:

其中由,

得,且此時(shí)有

又 點(diǎn)到直線的距離,

根據(jù)兩點(diǎn)距離公式可得:,

,

(此時(shí)).